Página 45 - Didáctica de la Matemática para la Formación Docente

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Didáctica de la Matemática para la Formación Docente
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Definamos ahora el M.C.D como el producto de los elementos de la intersección de los tres conjun-
tos. En el diagrama vemos que M.C.D (12, 15, 18) = 3
Aún más, el diagrama nos proporciona toda una gama de información valiosa, por ejemplo:
m.c.m (12, 15) = 2 x 2 x 3 x 5 = 60; M.C.D (12, 15) = 3 M.C.D (12, 18) = 2 x 3 = 6; etc.
Mediante ejercicios como estos, debidamente orientados por el docente, el estudiante por su propia
cuenta descubre que “el mínimo común múltiplo de un conjunto finito de números naturales ma-
yores que 1 es el producto de los factores repetidos y no repetidos con su mayor exponente” y que
el máximo común divisor de los mismos es el “producto de los factores repetidos con su menor
exponente”. Estas son las definiciones que encontramos en todos los libros de matemática.
En este caso, la teoría de conjuntos trabajó como un recurso didáctico para elaborar los conceptos
de M.C.M y M.C.D.
Veamos lo que ocurre en álgebra. Supongamos que necesitamos calcular el m.c.m y el M.C.D de:
x
2
- 1;
x
2
+ 2x + 1; x
2
+ 3x + 2. Procedemos en forma similar.
-
Factorizamos los polinomios:
x
2
-1
= (x+1) (x-1); x
2
+2x+1= (x+1) (x+1 );
x
2
+3x+2 = (x+1) (x+2)
-
Definamos A=
x / x es factor lineal de x
2
-1
B=
x / x es factor lineal de x
2
+2x+1
C=
x / x es factor lineal de x
2
+3x+2
-
Construimos el diagrama de Venn.
A
B
x-1
x+1
x+1
x+2
C
Por cuanto los conceptos son los mismos, tenemos:
M.C.M = (x+1) (x+1) (x-1) (x+2) = (x+1)
2
(
x-1) (x+2)
M.C.D = x + 1
Para que los valores de x en M.C.D = 10 ?; x + 1 = 10 x = 9
Un ejemplo más. El concepto de “sistemas de ecuaciones” (no el algoritmo de solución) se puede
construir fácilmente a partir de la línea directriz teoría de conjuntos; podemos plantear la situación
así: Sea x un número natural menor o igual a que 5 “y” cualquier número positivo ¿Para qué valores
de x, y se cumple que 2x + 3y = 13 y además 3x – y = 3 ?